Написано

Отписал олимпиаду. Хоть я и подумывал над тем, чтобы не писать эту олимпиаду, получилось не плохо.

Пять задач, 4 часа, “калькуляторами користуватися заборонено”. Первые полчаса времени просто изображал условия на бумаге, пытаясь хоть что-то понять. Как оказалось, “если долго долбить, то можно и додуплить”(с). К сожалению, листок с заданиями (которые были на двух языках, кстати) забрать домой не удалось, поэтому буду писать их по памяти и записям в черновике.

1. Можно ли подобрать четыре натуральных (>0, не дробные, если забыли) числа, чтобы они не были друг другу кратны, а квадрат каждого из них был кратен всем оставшимся числам?
2. Дан клетчатый лист 7×7, на котором записаны цифры от 1 до 7. В каждом ряду и слобце цифры не повторяются. Матрица симмитрична относительно одной из её диагоналей. Докажите, что на этой диагонали присутствуют все цифры от 1 до 7 (в любом порядке).
3. Докажите, что площадь правильного (все стороны равны) восьмиугольника равно произведению наименьшей и наибольшей его диагоналей. Думаю, мы это будем потом учить.
4. Десять тарелок поставлены по кругу. На каждой тарелке лежит ложка. Можно переложить любые две ложки на соседние тарелки (относительно тех, на которых они лежали), причём одну ложить на соседнюю по часовой стрелке, другую - против часовой. Можно ли таких образом собрать все ложки на одной тарелке?
5. Докажите, что выражение x⁵+3x⁴y-5x³y²-15x²y³+4xy⁴+12y⁵=33 не выполняется в том случае, если x и y - целые числа (положительные, отрицательные и ноль, не дробные).

Кстати, я набрал 28 баллов из 35 (по 7 за задачу) и занял второе место, первого нет. Баллов не хватило чуть-чуть до первого, но на область всё равно еду.

ЗЫ Начинающим любителям формул. Степень делается тегом ^.